摘要：
大影响。奖项的年度得奖人將获得100万美元奖金，以支持其研究继续发展。莫毅明因其创立了极小有理切线簇（VMRT）理论並用以解决代数几何领域的一系列猜想，以及对志村簇上的 Ax-Schanuel 猜想的证明，而获得「数学与计算机科学奖」。復几何是现代数学的一个核心研究方向，在理论物理和数学的其他分支。...
大影响。奖项的年度得奖人將获得100万美元奖金，以支持其研究继续发展。莫毅明因其创立了极小有理切线簇（VMRT）理论並用以解决代数几何领域的一系列猜想，以及对志村簇上的 Ax-Schanuel 猜想的证明，而获得「数学与计算机科学奖」。復几何是现代数学的一个核心研究方向，在理论物理和数学的其他分支。
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切线斜率的公式。 思路是，一开始只知道曲线的起点（假设为 A 0 {\displaystyle A_{0}} ），曲线其他部份是未知的，不过通过微分方程， A 0 {\displaystyle A_{0}} 的斜率可以被计算出来，也就得到了切线。 顺着切线向前走一小步到点 A 1。
qie xian xie lv de gong shi 。 si lu shi ， yi kai shi zhi zhi dao qu xian de qi dian （ jia she wei A 0 { \ d i s p l a y s t y l e A _ { 0 } } ） ， qu xian qi ta bu fen shi wei zhi de ， bu guo tong guo wei fen fang cheng ， A 0 { \ d i s p l a y s t y l e A _ { 0 } } de xie lv ke yi bei ji suan chu lai ， ye jiu de dao le qie xian 。 shun zhe qie xian xiang qian zou yi xiao bu dao dian A 1 。
t\mapsto (t^{3},1-t^{2})} 在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0)，却并无一个水平切线，然而它在 t = 0处有一个驻点(实际上是一个尖点)。 柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。(拉格朗日)均值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。。
历史上，魏尔施特拉斯函数是一个著名的数学反例。此前，对于函数的连续性，数学家的认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总有切线斜率。魏尔施特拉斯函数表明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法。 魏尔施特拉斯的原作中给出的构造是： f ( x ) = ∑。
冯·科赫写过多篇关于数论的论文。其中一个研究成果是他在1901年证明的一个定理，说明了黎曼猜想等价于素数定理的一个条件更强的形式。 在他1904年的一篇论文“关于一个可由基本几何方法构造出的，无切线的连续曲线”（原文的法文标题为：“Sur une courbe continue sans。
次导数（英语：subderivative）、次微分（英语：subdifferential）、次切线（英语：subtangent lines）和次梯度（英语：subgradient）的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。要注意的是，次切线（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。。
的挑战（1657年），但在几个月后就由Wallis及Brouncker证明。费马认为他们的证明有效，但用了一个在其中未经证明的演算法，费马自己是由无穷递降法找到证明。 发展许多找亏格0或1曲线上点的方法，作法类似丟番图，有许多特殊的步骤，使用了切线法构建曲线，而不是用割线法。 证明 x 4 + y 4 = z 4 {\displaystyle。
绳子的长度， ρ {\displaystyle \rho } 是绳子线重量密度， tan θ {\displaystyle \tan \theta } 为切线方向，记 a = ρ H {\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}} , 代入得微分方程 d y d x = a s {\displaystyle。
第二卷：几何与代数。该卷主要討论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学，主要包括大量代数定理的几何证明。 第三卷：圆与角。本卷阐述了圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。 第四卷：圆与正多边形。本卷討论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。 第五卷：比例。本卷对欧多克索斯的比例理论进行阐述，。
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圆锥也称为圆锥体，是一种三维几何体，是平面上一个圆以及它的所有切线和平面外的一个定点确定的平面围成的形体。圆形被称为圆锥的底面，平面外的定点称为圆锥的顶点或尖端，顶点到底面所在平面的距离称为圆锥的高。通常“圆锥”一词用来指代正圆锥，也就是圆锥顶点在底面的投影是圆心时的情况。正圆锥可以定义为一个直角三。
切线，与圆相交的点叫做切点。如下图，直线 Q P ¯ {\displaystyle {\overline {QP}}} 与圆只有一个交点 P {\displaystyle P} ，那么 Q P ¯ {\displaystyle {\overline {QP}}} 就是圆的切线。过圆上一点的切线：设该点为。
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切线法是利用切线构造不等式的方法，有时会结合延森不等式。 切线法是属于试探性的方法，但使用范围比延森不等式更广，例如半凹半凸的函数 x 2 + 2 x {\displaystyle x^{2}+2{\sqrt {x}}} 不能使用延森不等式，但能使用切线法。 对于 x 1 , x 2 , . . 。
导数（英语：derivative）是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率（即函数在这一点的切线斜率）。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。当函数 f {\displaystyle f} 的自变量在一点 x 0 {\displaystyle x_{0}}。
f({\mathbf {x} }_{0})\cdot {\mathbf {\gamma } }'(0)=0.} 因此, f 在点 x0 处的梯度与曲线在该点处的切线 γ′(0) 垂直. 由于曲线 γ(t) 是任意的, 因而断定梯度与水平集垂直. Q.E.D. 这一定理的直接推论是, 如果水平集穿过其自身 (不是一个光滑子流形或超曲面)。
实际上，均值定理是以其导数的方式来控制一个函数。例如，假设f有导数，在每一点均为0，这表示其每一点的切线都是水平线，因此其函数应该也就是水平线。均值定理证明这是对的：f图上二点之间的斜率必须等於f中的某一条切线。而所有的切线斜率都是0，因此从函数上任二点之的直线斜率也是0。这表示函数不会上昇也不会下降，因此是水平线。若是导数的条件比较复。
数学学界引起了争议。尽管分析技术为一些长期存在的问题提供了解决方案，包括切线的发现和微积分的求积问题，但这些解决方案的证明并不被认为可以简化为欧几里德几何学的合成规则。相反，分析师经常被迫调用”无穷小“或“无限小”的数量来证明他们的代数操作是正确的。与牛顿同时代的一些数学人，比如艾萨克·巴罗，对这。
的底是抛物线的弦，除弦上两点之外的三角形第三点在抛物线上的切线平行于弦，根据命题1（抛物线的求积），如果从第三个顶点画一条平行于轴线的线能将弦分成相等的两条线段，则抛物线弓形的面积是该内接三角形面积的4/3。 阿基米德给出了主定理的两个证明。 第一种使用力学，阿基米德认为，当放置在适当的杠杆上的一。
t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),} 在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。 柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。 首先，如果 g ( a ) =。
零点的 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，计算相应的 f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} 和切线斜率 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} （这里 f ′ {\displaystyle f'} 表示函数 f。
G 4 {\displaystyle G_{4}} ，大于 D {\displaystyle D} ，将所有角用圆的切线裁去得到了一个圆外切正八边形，继续这样的过程直到面积差小于 D {\displaystyle D} 。正多边形的面积 P n {\displaystyle。
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