摘要：
向量分析中常用的叉积。 梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。 若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）核方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。。...
向量分析中常用的叉积。 梯度与散度只需要内积，旋度和叉积还需要考虑坐标轴的手性。 若其他3维实向量空间有内积（或更一般的对称非退化形式）核方向，向量分析就可在这些空间上定义；这比欧氏空间的同构数据要少，因为不需要坐标轴集（参照系），这反映了向量分析在旋转（特殊正交群SO(3)）下不变的事实。。
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在电脑图学中，顶点法向量（英语：Vertex normal，又称顶点法线）是3D模型顶点的一种属性，指电脑图学的3D模型中与特定顶点关联的方向向量，目的是利用这个法向量来替代实际3D模型中物体的真实法向量。通常会將其定为包含该顶点之面的法向量平均值，其平均值有时也会根据包含该顶点之面的面积来做加权。 顶点法向量。
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zai dian nao tu xue zhong ， ding dian fa xiang liang （ ying yu ： V e r t e x n o r m a l ， you cheng ding dian fa xian ） shi 3 D mo xing ding dian de yi zhong shu xing ， zhi dian nao tu xue de 3 D mo xing zhong yu te ding ding dian guan lian de fang xiang xiang liang ， mu de shi li yong zhe ge fa xiang liang lai ti dai shi ji 3 D mo xing zhong wu ti de zhen shi fa xiang liang 。 tong chang hui 將 qi ding wei bao han gai ding dian zhi mian de fa xiang liang ping jun zhi ， qi ping jun zhi you shi ye hui gen ju bao han gai ding dian zhi mian de mian ji lai zuo jia quan 。 ding dian fa xiang liang 。
在数学中，赋范向量空间（英语：Normed vector space）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 Rn 的推广。Rn中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（。
内积空间（英语：Inner product space）是增添了某种运算的向量空间，这种运算叫做内积，它推广了原来欧几里德空间的点积，而从比较一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”还有正交性。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。。
积为1。 各种代数结构中的对象可以通过定义不同的二元运算得到不同的积。比如说，平面向量可以定义点积，三维向量可以定义叉积和混合积。常见的积还包括： 向量空间中两个向量的内积 矩阵集合中矩阵的乘积 矩阵的阿达马乘积 矩阵的克罗内克乘积 张量的外积 张量的张量积 两个函数的。
阶张量。利用在定义列维-奇维塔张量中同一个内积 g 上升和下降指标。当然也可以对任何张量取星号，所得是反对称的，因为张量的对称分量在与完全反对称列维-奇维塔张量缩并时完全抵消了。 星算子一个常见例子是在 n = 3，可以做为 3 维向量与斜对称矩阵之间的对应。这不明显地使用于向量分析中，例如由两个向量的楔积产生叉积向量。具体地说，对欧几里得空间。
向量丛定义中的向量空间主要常见的是实空间( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} )跟复空间( C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} )，分別称作实向量丛跟复向量丛。复向量丛可以视为一种带有附加结构的实向量丛。 向量丛是纤维丛的一种。。
(#｀′)凸
外积（英语：outer product），在线性代数中一般指两个向量的张量积，其结果为一矩阵；与外积相对，两向量的內积结果为纯量。 外积也可视作是矩阵的克罗內克积的一种特例。注意到：一些作者將「张量的外积」作为张量积的同义词。 向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。 给定 m × 1 {\displaystyle。
在物理学和诸多工程学科中，向量更多地被称作矢量；矢量可以描述许多常见的物理量，如运动学中的位移、速度、加速度，力学中的力、力矩，电磁学中的电流密度、磁矩、电磁波等等。 物理学和一般的几何学中涉及的向量概念严格意义上应当被称为欧几里得向量或几何向量。定义具有物理意义上的大小和方向的向量概念则需要引进了定义了范数和内积。
內积空间中才有意义。若內积空间中两向量的內积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。 若某空间（此空间为内积空间）中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若某空间（内积空间）中的向量v与子空间A中的每个向量。
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在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。 这种正交化方法以约尔根·佩德森·格拉姆（英语：Jørgen Pedersen。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为內积空间。 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及標量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。 对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量。
数学上，克罗内克积（英语：Kronecker product）是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为⊗。简单地说，就是将前一个矩阵的每个元素乘上后一个完整的矩阵。克罗内克积是外积从向量到矩阵的推广，也是张量积在标准基下的矩阵表示。 尽管没有明显证据证明德国数学家利奥波德·克罗内。
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在数学和向量代数领域，外积（英语：external product）又称叉积（cross product）、叉乘、向量积（vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 × {\displaystyle \times } 。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量。
product）。点积是内积的一种特殊形式：内积是点积的抽象，內积是一种双线性函数，点积是欧几里得空间（内积空间）的度量。 从代数角度看，先求两数字序列中每组对应元素的积，再求所有积之和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。 点积的名称源自表示点乘运算的点号（。
在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵 A {\displaystyle A} ，它的特征向量（eigenvector，也译固有向量、本征向量） v {\displaystyle v} 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 v {\displaystyle v} 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即。
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外积出现在代数、几何学等领域中。对两向量 A → {\displaystyle {\vec {A}}} 与 B → {\displaystyle {\vec {B}}} 而言，外积可指： External product，又名叉积（英语：cross product）和向量积（英语：vector product），常写为。
拓扑向量空间是泛函分析研究中的一个基本结构。顾名思义就是要研究具有拓扑结构的向量空间。 拓扑向量空间主要都是函数空间，在上面定义的拓扑结构就是函数列收歛的条件。 希尔伯特空间及巴拿赫空间是典型的例子。 一个拓扑向量空间 X 是布於一个拓扑域 K （通常取实数或复数域）上的向量空间，其上带有拓扑结构使得向量加法。
b 为向量，它们的外积 a ∧ b 即为一个二重向量，代表由 a 与 b 围成的平行四边形面积，其方向为 a 到 b 的时针方向。所以，外积是反对称的，a ∧ b 的方向恰与 b ∧ a 相反。另外，a ∧ a 是一个「零二重向量」。 有时候，三维的二重向量被拿来当作一种偽向量。 二重向量与二维的复数以及三维的伪向量和四元数相关。。
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在量子力学裏，一个量子系统的量子態可以抽象地用態向量来表示。態向量存在於內积空间。定义內积空间为增添了一个额外的內积结构的向量空间。態向量满足向量空间所有的公理。態向量是一种特殊的向量，它也允许內积的运算。態向量的范数是1，是一个单位向量。標记量子態 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 的態向量为 | ψ ⟩ {\displaystyle。
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